红移现象（类星体红移速度）

什么原因导致哈勃红移？是光波随着宇宙的膨胀被“拉长”了，还是因为遥远的星系远离我们而产生的光的多普勒频移？

简而言之，都是。多普勒频移解释是对“拉伸光”解释的线性近似。从一个视角切换到另一个视角相当于（弯曲的）时空中坐标系的变化。

在深入讨论细节之前，展示两个坐标系的图片。左边的系统对应于多普勒频移解释：随着星系逃离我们，它们的径向坐标增加。右边的系统称为共动坐标系：它们与逃逸的星系一起扩展，所以径向坐标保持不变。

两个坐标系

详细的解释需要看弗里德曼-罗伯森-沃克（FRW）的时空模型。著名的“膨胀气球散布星系”提供了一个视觉类比；就像任何类比一样，只看表面它会误导你，但认真理解能得到一些深刻的领悟。

直接在气球上绘制坐标系。它们定义了共动坐标（在图片的右边）。想象一下两个斑点（“星系”）嵌入在橡胶表面。散斑的运动坐标随气球的膨胀而变化，但散斑之间的距离却不断增大。在共动坐标系中，我们说斑点不移动，但“空间本身”在它们之间伸展。

例如，一个虫子开始从一个斑点爬到另一个斑点。在第一只虫子离开一秒后，它兄弟开始跟着它移动。（把虫子想象成两个光脉冲，或者一束光中连续的波峰）显然虫子之间的间隔会在它们的旅行中增加。在共动坐标系中，光在其旅程中被“拉伸”。

现在我们切换到图片左边的坐标系，这个坐标系只在一个邻域内有效（但是足够覆盖两个散斑）。想象一个干净、柔韧、无拉伸的贴片，在一个斑点处贴在气球上。贴片贴在气球表面，当气球膨胀时，气球会在贴片下面滑动。（虫子在贴片下面爬行）我们在贴片上画出坐标系。在贴片坐标系（我称之为贴片坐标系）中，第二个斑点离第一个斑点逐渐远去。所以在贴片坐标系中，我们可以把红移看作是多普勒频移。

这在视觉上有吸引力吗？我认为是这样。但这个解释忽略了一个关键点：时间坐标。FRW时空完整地配备了一个特殊的时间坐标（称为共动或宇宙学时间）。例如，一个共同运动的观测者可以通过周围散斑的平均密度或宇宙背景辐射的温度来设置时钟。（从纯数学的观点来看，共动时间坐标是由某种对称性决定的）。

GR为我们提供了一个可以选择的无限时间坐标，但是让我们来看看宇宙学时间。注意，这不是狭义相对论中通常的选择：尽管两个散斑快速分离，但它们的宇宙学时钟保持同步。与通常的SR图像不同的是一个更深层次的事实：除了气球表面明显的“空间”曲率外，FRW时空也有“时间”曲率。事实上，并不是所有的FRW时空都具有空间曲率，但（有一个例外）都具有时间曲率。

让我详细说明一下。在贴片坐标系中，虫子（光脉冲）参与了所谓的哈勃流：虫子以速度c相对于气球表面移动，所以以速度c+v相对于贴片移动，v是气球表面相对于贴片的速度。当然v会随着距离变化，但是根据哈勃定律，在距离r处，v=Hr 。现在如果虫子朝着贴片移动而不是远离贴片，他们在贴片坐标系中的速度应该是c-v而不是c+v。可以说，它们将逆流而上与膨胀的流动空间作斗争。更不巧的是，光速在贴片坐标系中是各向异性的。

让我们用这两种方法计算红移的程度。首先用多普勒频移的方法，如前文所述，这是一个近似方法，仅当以下两个假设成立时适用。第一，斑点必须足够近，以至于它们不会快速地远离彼此；第二，在光波从一个斑点传播到另一个的时候哈勃“常数”H不能变化太多。

先来讨论一个虫子（换言之，一个波峰）在宇宙学时间t_0时刻出发，第二个虫子在t_0+t时跟上。所以周期为t（我们假设t很小）。我们使用的是一个坐标贴片，其中第一个散斑不移动，而两个散斑都使用宇宙学时间，因此我们使用固定源、移动接收器的多普勒公式的标准非相对论推导是合适的。假设第一个虫子在t_1时刻到达“移动的”散斑，径向坐标为r。第二个虫子在t_1+t时刻穿过相同的坐标线（或者说到达r）。此时，散斑移动到了r+Hrt处。因此第二个虫子必须以相对速度c（散斑和虫子都由哈勃流携带）弥补附加分离量Hrt，所以到达散斑的时间不同：

t+Hrt/c

所以周期增加了Hrt/c。而光波的波长与其周期成正比。设λ为初始的光波长，λ为波长的变化，并设z=λ/λ（标准符号）。有：

z=λ/λ=(Hrt/c)/t=Hr/c

（有一点值得讨论：以上假设了周期t在传播过程中不变，我们并没有假设在虫子之间的距离中传播的波长不变，事实上也没有。但是周期t确实变化了，因为我们假设哈勃常数H不变。）

“拉伸”的理论更简单。在这里，径向坐标记为r_1，不变。距离在宇宙学时间t时为r=R（t）r_1，距离改变了。这里的R（t）为膨胀系数，更多关于R如何随着时间t变化的细节在FRW模型中。现在需要的就是R和H的关系。显然，退行速率是（dR/dt）r_1，并且由哈勃定律可知，它等于HR（t）r_1（退行速率和距离成正比），r_1消去有：

H=(dR/dt)/R

我们假设在t=t_0时初始波长为λ；经过一段时间到达了第二个散斑，它被拉伸了(R(t_1))/R(t_0 ) .所以

z=λ/λ=(R(t_1))/R(t_0 ) -1=(R(t_1 )-R(t_0 ))/R(t_0 )

但是根据通常的微积分极限，R(t_1 )-R(t_0 )（dR(t_0 )/dt）(t_1-t_0).对时间的估计是依据距离除以速度，t_1-t_0=(R(t_0)r_1)/c=r/c

所以，z(dR(t_0 )/dt r/c)/R(t_0 ) =Hr/c

这里再强调这个公式不适用于大的红移，在大红移中哈勃常数H会发生很大的变化。